这是笔者学习 MIT 18.100A Real Analysis 的笔记。起因是笔者学习喜欢刨根问底，每每学习或者复习的时候，都有些疑惑的地方，而这些疑惑的地方往上翻寻都可以归结到数学相关的基础定义和概念都不是很熟悉。同时在笔者做研究的过程中，发现学习高等数学、线性代数、概率统计、数值分析这些课程仅仅能够让我在学习他人算法或者理论的时候能够看懂，但是不足以支撑我做一些自己的研究，于是痛定思痛，下定决心去完善我的数学知识体系。
对于课程笔记，个人并不打算按照 Note 中的顺序来逐个列出，我只会写出自己认为有收获的点，需要参照着 Note 一起观看。
课程相关资料:
– 资料：[官网](https://ocw.mit.edu/courses/18-100a-real-analysis-fall-2020/)，[课程笔记和课本](https://ocw.mit.edu/courses/18-100a-real-analysis-fall-2020/pages/lecture-notes-and-readings/)
– 课程视频: [youtube](https://www.youtube.com/watch?v=LY7YmuDbuW0),[bilibili](https://www.bilibili.com/video/BV1Ge411F7it/), [官网](https://ocw.mit.edu/courses/18-100a-real-analysis-fall-2020/video_galleries/video-lectures/)
# 关于课程的目标
> *There are two main goals of this class:* \
> *1. Gain experience with proofs.* \
> *2. Proof statements about real numbers, functions, and limits.*
可以看出，课程非常注重 Proofs，我觉得这在自己做科研的过程中非常重要，你必须保证你推导的式子是正确的，这样你才能够做下一步的推导，而如何说服自己这一步是否正确，就必须回到 Proofs 这一步。
# 集合论
这一部分主要讲授一些关于集合论相关的定义、函数的定义和性质（单、满、双射）、集合论关于大小（Cardinality）的子课题。关于定义或者相关性质我相信一方面国内的教育已经普及的很好了，另一方面 Notes 写得也很充足，这里主要记录一些自己的感想。
## 单一集合操作
单一集合操作主要就是交并补，要理解这个只需要理解文氏图就行了。
关于交并和补操作关于补集的 Theorem 有一个很有名的叫：De Morgan’s Laws
$(A∩B)^c = A^c ∪ B^c$
$(A∪B)^c = A^c ∩ B^c$
## 集合中二元关系
二元关系主要描述的是两个集合中的元素的组合组成的集合，具体而言是:
$$
\langle x, y \rangle, x \in \bold{X}, y \in \bold{Y}
$$
而二元关系 $R$, 就是 $xRy$，是一些 $\langle x, y \rangle$ 的集合。
### 序关系
在讨论序关系的时候，我们会有三个名词来描述具体的关系：
1. 自反: $xRx$
2. 对称: $xRy \Rightarrow yRx$
3. 传递: $xRy, yRz \Rightarrow xRz$
而序关系分为偏序关系和全序关系：
1. 偏序关系：自反 + 传递 + 反对称。
2. 全序关系：每个都可以比（这个本质上是一个线性的关系）
**而我们在这里用序关系来对 inf，sup 以及上确界、下确界进行定义**
假设有一个元素集合 $S$, 其一个子集为 $X$ ($X \subseteq S$)，而 $S$ 上有一个关系 $R$，是全序关系（要求都可比）。
那么 $X$ 的下确界定义为：
$$
b \in S, s.t. \forall x \in X, bRx
$$
那么 $X$ 的上确界定义为：
$$
b \in S, s.t. \forall x \in X, xRb
$$
那么在 $X$ 上的 inf 定义为：
$$
\inf X := \max \{b | b \text{是 $X$ 的下确界}\}
$$
那么在 $X$ 上的 sup 定义为：
$$
\sup X := \min \{b | b \text{是 $X$ 的上确界}\}
$$
**接下来需要介绍一个很重要的性质 LUBP （Least-up-bound property)**
LUBP: 对于一个集合 $S$ 和在其上的关系 $R$，如果它有 LUBP 性质，那么对其任意子集和 $E$，$E$ 在 $R$ 上 $\sup E \in S$
– 例子1.
$S = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, 很明显，其任何子集的 sup 都在其中。
– 例子2.
$Q$ 自然数集不具有 LUBP 性质。
这里给出一个比较直观的解释，比如我们随便找一个集合（比如是 $E = \{x | x^2 \lt 2, x \in Q\}$），其 sup 要么就在 $E$ 里面，要么就是 $x^2 = 2$,要么就是在这 $\{x | x^2 \gt 2, x \in Q\}$ 里面。
我们可以证明，第一个第三个都是不存在的，第二个不是有理数，所以不存在 $\sup E \in S$。
这里可能有人问，既然上确界都是在 S 里面的，怎么到了 sup 的时候就有可能不在 S 里面呢？（其实不是不在，而是压根不存在，因为就算你找到了一个还有会比其更小的，你找不到，这是另一种不存在。一种是压根没有（为空），另一种是太多了压根找不到）
### 从二元关系中看函数定义
平时学习的时候，一直将函数看为一种映射（mapping），这对于理解是没有问题的，但是不利于理论的统一。如果要把函数统一进集合论，需要用集合的形式来定义函数，而这个定义的表述就是，对于 $f: A \rightarrow B$，$f$ 其实是 $A \times B$ 的一个子集（$f \subseteq A \times B$），即：
$$
(x, y) \in f \ \text{implies: } f(x) = y
$$
尽管这个表述很鸡肋，但是对于理论的统一是很充足的。
## 集合的大小（Cardinality）
需要知道的四个基本的点：
1. 定义 $|A| = |B|$， 存在一个双射 $f$ 使得 $f: A \rightarrow B$.
2. 定义 $|A| = n$，如果 $|A| = |\{1, 2, \dots, n\}|$
3. 定义 $|A| \le |B|$，存在一个单射 $f$ 使得 $f: A \rightarrow B$.
4. 定义 $|A| \lt |B|$, $|A| \le |B|, |A| \neq |B|$
这里需要注意的是：
1. 第一点在语言上来说不是一个双向平等的，因为 $f$ 从 $A$ 到 $B$ 是双射，在语言上来说并不意味着反过来是正确的。（尽管我们可以证明这一点是正确的，但是不能直接显然的这么认为）（我们可以证明双射意味着其逆变换也是双射，也就是说第一点是一个双向平等的，为了直观上体现这个我们用等号来表示）
2. 第二点，我们用自然数来衡量大小。同时如果一个集合的 cardinality 可以用自然数来表示，那么意味着他是有限的（finite），如果其和自然数集($\mathbb{N}$)是同大小的，那么叫做可数无限的（Countable infinite），他们统称可数的（Countable）。
这里有一个定理对于证明来说很重要：
> Theorem (Cantor-Schröder-Bernstein): \
> If $|A| \le |B|$ and $|B| \le |A|$ then $|A| = |B|$
注意这是 Theorem，而不是 Definition，因为我们可以用单射的理论来证明两个集合存在双射，从而证明上述定理。
> 我觉得这种思想在证明中经常用到，如果考虑双边十分困难，我们就需要把双边拆成单边，一个一个来证明。
一些常见的 Cardinality：
– $|\mathbb{N}| = |\{2n – 1 | n \in \mathbb{N}\}|$
– $|\mathbb{Z}| = |\mathbb{N}|$
– $|\mathbb{Q}| = |\mathbb{N}|$
### $\mathbb{N}$ 是最大的吗
Cantor Theorem
# 从集合论的角度来看实数
Therorem ordered field and LUBP set containing Q is called R.